########这是Groebner基的一个辅助文件，主要有两个程序。
###程序1： 判定一个多项式是否在一个理想中，如果是，则将该多项式写成生成元的线性组合。
###调用方法representation(p,F,ord); 程序说明和例子，请见下面

###程序2： 计算一个多项式模的Groebner基，输入一个多项式向量组，返回它的Groebner基。
###调用方法ModuleGB(Vector_set, Position_set, ModOrder); 程序说明和例子，请见下面
####因为程序很小，所有例子就放到一起了。


restart;

#######输入:p 一个多项式, F=[f1,...,fs]一个多项式列表, ord 一个单项式序
;
#######输出:  如果p在<F>中中,输出列表 [a1,...,as] , 使得p=a1*f1+...+as*fs 如果
;
###########:	 如果p不在<F>中,输出"p不在理想中"。
;

representation:=proc(p, F, ord)
local s, Elist, PS,pord, FullOrder, i,G,r, Q, Deg2PositionPol, AllPol;
s:=nops(F);
 Elist:=[seq(E[i],i=0..s)];
 PS:=[];
 for i to nops(F) do
    PS:=[op(PS), E[i]+F[i]*E[0]];
 od;
FullOrder:=prod(plex(op(Elist)),ord);
Deg2PositionPol:=ListProduct(Elist,Elist);
AllPol:={op(PS), op(Deg2PositionPol)};
G:=Groebner[Basis]({op(PS), op(Deg2PositionPol)},FullOrder);
r:=Groebner[NormalForm](-p*E[0], G, FullOrder);

if degree(r, E[0])=0 then  return [coeffs(r, Elist[2..s+1])]  else print("the polynomial is not in the ideal") end if;
 end proc;
# 

# 
# 

ListProduct:=proc(List1, List2)
local i,j, res;
  res:={};
  for i in List1 do
     for j in List2 do
        res:={op(res), i*j};
     od;
  od;
return res;
end proc:

### 1.  Onedegree_polys:  select elements from GB of the module whose degrees of the position variables are one，and convert them into corresponding vector form ###
## Input: GB--- a minimal CGS on some  branch ## 
##        Position_set---   a set of position variables  (or called the placeholder variables ) ##
## Output:  a set of vectors whose degrees of all  position variables are one ##

Onedegree_polys:=proc (GB, Position_set) 
 local MGB,p,v,i; 
 MGB:={};

 for p in GB do 
    if degree(p, Position_set)=1 then
       v:=[];
       for i to nops(Position_set) do
           v:=[op(v),coeff(p,Position_set[i])];
       od;
       MGB:=MGB union {v};
    fi;
 od;

 return MGB;
 end proc:
 
 
 
######计算一个模的Groebner基######
######输入：向量集Vectors_set，是一个多项式向量。 位置变量集Position_set=[e1,...,es]，模的序ModOrder要包含变元x,y,z的序和位置变量的序e1,e2,e3######
######输出：模的Groebner基， 也是一个多项式向量#####

ModuleGB:=proc(Vector_set, Position_set, ModOrder)
local n,m,Poly_set,i,j,G,k,MCGS;
n:=nops(Vectors_set); 
m:=nops(Position_set);

## first convert polynomial vectors to polynomials in a set of variables and position variables ##
Poly_set:={seq(ListTools[DotProduct](Vectors_set[i], Position_set),i=1..n)};

## regard the position variables as normal variables, then convert vectors to polynomials in a set of variables and position variables (i.e., f:=a*x*e[1]+b*x*y*e[2], e[1],e[2] are the position variables)##


      Poly_set:=Poly_set union ListProduct(Position_set,Position_set) ; 


G:=Groebner[Basis]( Poly_set,  ModOrder);
#print(G);
MCGS:=Onedegree_polys(G, Position_set);
	## convert the polynomials back to polynomial vectors ##
return MCGS;
end proc:







F := [x^2-2*x*z+5, y*z^3+x*y^2, -8*z^3+3*y^2];
p := -18*x*y^5*z-96*x*y^4*z^2+9*x*y^4-592*x*y^3*z+45*y^5+240*y^4*z+320*x*y^2+1600*y^3;
G:=Groebner[Basis](F,tdeg(x,y,z));
trace(representation);
R:=representation(p,F,tdeg(x,y,z));
#上述返回的就是多项式p在理想F中生成的系数。
;
#下面来验证这个结论
;
p-expand(ListTools[DotProduct](R,F));
换一个序试试
;
R:=representation(p,F,plex(x,y,z));
p-expand(ListTools[DotProduct](R,F));
#仍然正确
;


trace(ModuleGB);

Vectors_set := {[x^2-b, 0, 1], [a*x+x^2+1, 1, 0]};
Position_set:=[e1,e2,e3];
ModOrder:=prod(plex(e1,e2,e3), plex(x));
###要特别注意位置变量是列表，而且必须出现在序中， 这个序来确定模的序是TOP和POT.

ModuleGB(Vector_set, Position_set, ModOrder);